和椭圆一样，双曲线的定义也是两种。
一种是从几何角度，强调双曲线是到两定点距离只差为定值的点的集合，关注点在点的集合上面。
另一种是从变量的角度，强调双曲线为一动点运动的轨迹：如果一个动点到两个定点距离的差为一个定值，那么这个动点的轨迹就是双曲线。
定义式可以写成：
对于上述这种定义式，需要注意一点，必须在二者作差之后加上一个绝对值才行，不加绝对值的定义式只能表示双曲线的一支。
引入坐标变量之后，可以写出双曲线的标准方程。
标准方程也有两种写法，分别表示焦点落在哪一个坐标轴上。
当焦点落在X轴上时，实轴在X轴，如下图：
标准方程为：
此时，a=OA称为实半轴，b=OC称为虚半轴，c=OF称为半焦距。
当焦点落在Y 轴时，实轴在Y轴，方程变为：
这种标准方程和椭圆的标准方程一样，都有一个变式，可以写成：
它也表示一个双曲线，当m不为0时，可以把m除过去，把非标准方程改写成标准方程。当m=0时，
最后这个一次函数代表着两条直线，它们是双曲线的两条渐近线。
如何理解这个渐进线？又如何理解双曲线存在虚轴？
这得先从如何理解双曲线是怎么形成的开始：
我们还是和椭圆形成的理想模拟实验一样，首先设想有一个均质的、正球形的橡胶球，球的半径为b。
有一天，不知道什么原因，橡胶球开始绕着自己的某一条对称轴高速旋转（自旋），球的每个部位角速度都是一样的，但因为半径不一样，所以线速度不同，赤道部位的线速度最大。
我们假设赤道的线速度可以达到能将均质小球变形的程度。
此时赤道表面开始鼓出，原来的球心也被甩成中空的圆形平面的边缘，这个圆形平面垂直于旋转轴，圆心还是原来的球心。
当这个边缘（也就是新的球心）并没有超过鼓出的赤道表面的时候，这个球体外表上看来，还是一个闭合的表面，它的外形符合椭圆球的各种特征。（模拟证明请参看前天的发文链接：）
此时a>c，离心率e<1。
当新的球心被甩出的速度超过球体赤道膨胀的速度，此时，新的球心就有和赤道外表面重合的可能，当二者重合时，橡胶球从它的自旋轴处被撕裂，被撕裂的内外表面此时会贴合在一起，分布在y轴的两侧，形成左右对称的抛物线形状。
此时a=c，也就是离心率e=1。
在球体被从旋转轴处撕裂的时候，实体的球体已经消失，那么在自旋轴Y轴上的正圆半径b也就不存在了。
我们还可以继续模拟下去，假如这个新的球心继续突破了膨胀的赤道表面，在突破的瞬间，也就是在这个临界状态，被分割的球体表面从向Y轴张口的抛物线形状，瞬间变成向Y轴的反方向张口，如果这个转变完成，就会变成背靠背的双曲线状态。
注意，这个时候是临界状态，还是c=a、e=1的这种临界状态，曲面张口方向的这种急速反转，理论上就会出现一种正向和反向的中间状态：这种中间状态会既不朝着y轴脸对脸的抛物线形状，也不会是向着Y轴背靠背的双曲线形状，这个曲线在反转的过程中，它应该至少出现过一次两条曲线的中间状态，这个中间状态，就应该是抛物线和双曲线之间的相互妥协状态，它是条直线，这种妥协状态应该只存在于新的球心突破表面的瞬间，是一种再也回不去的极限状态。
这条直线，其实就是双曲线的渐近线中的一条。
关于 x 轴，y 轴对称之后，就形成现在我们看到的渐近线。
换一句话说，渐近线也应该是两条双曲线，但是，它是双曲线的极限状态，是退化的双曲线。
好，继续我们的理想模拟：
当被甩出的新的球心开始远离球体的赤道表面的极点，此时的球体表面就会发生背向 y 轴的弯曲，形成我们现在常见的双曲线。
此时 c>a，离心率大于 1。
理想模拟到了这儿，我们会发现，原来正圆球体的半径 b 也烟消云散，变成一个不存在的虚轴了。
基于以上的理想模拟，我们就可以理解这样一个问题：
为什么那两条渐近线是双曲线穷尽一切都无法达到的曲线了。
因为那两条线是新球心突破赤道极点处瞬间形成的理想直线，只存在于临界状态，只要突破了这个临界状态，过去的东西就再也回不去了。
好，我们的理想模拟想象先打住，回到我们双曲线的数理公式上来：
我们可以先从代数式的角度来看看：
当m=0时，也就意味着
这也就意味着c=a。
此时根据刚才我们模拟的理想状态，新的球心和被甩出的赤道极点重合，原来的橡胶球被撕裂，b也成了虚空，只存在于被撕裂以前的历史中。
c=a，既意味着抛物线的形成，也意味着新的球心将要突破赤道极点这种临界状态，当处于临界状态时，球体表面在一瞬间形成一条直线，这条直线符合c=a的状态，也就是
瞧，理想模拟和数理推导完美融合。
也就是说：不止椭圆的半短轴b先于半长轴a存在，双曲线中渐近线也是先于双曲线存在的，而不是我们看到公式推导中，设定a方和c方的关系，才得到b的平方。实际的状态和数学的推导状态是反着的。
先有瞬间绷直的渐近线，才有完美的双曲线。
当然上面这些都只是我的解释，帮助理解为什么会存在渐近线，渐近线是什么？
为什么会存在虚轴这些让人迷惑的问题的。